指数関数，対数関数

【高校数学の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　 　 《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　 が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方 　 • 累乗根 　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較 　 • ｎ乗比較 　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数 ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，対数計算(1)の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

■対数計算(1)（例題→選択問題） 　y=ax を a を底とする指数関数という． 例1　y=2x は 2 を底とする指数関数と呼ばれる． 　　（これは２次関数 y=x2 とは全く別のものである．） ○ y=2x において，与えられた y の値に対応する x の値を表わすために，log2y という記号を導入し， 2 を底とする対数という． 　log2y において，y を真数という． [ 対数の定義 ]（ aを底とする対数loga yの定義 ） y=ax ⇔ x=loga y ◎［重要］ 　この定義により，ある対数が何を表わしているかは，指数の形に直してみれば分かる． ※　高校では真数は「正の数」だけとする． y=ax ( y>0 ) だから x=loga y ( y>0 ) 例2　8=23 ⇔ 3=log28 　左辺の式と右辺の式は，どちらに書いてもよい．（ 8=23 ⇔ log28=3 ）例3　52=25 ⇔ log525=2 例4　3=log101000 は 103=1000 となることを表わしている． 　《要点》外=底中 ⇔ 外=log底中　指数→対数，対数→指数のどちら向きに変形するときも底は底，外は中，中は外 例題　次の式を指数の形で表せ．4=log216 解答　24=16 ※ 42=16 と答えると，式自体は正しくても，この対数を指数の形に直したものになっていないことに注意． ※ 同様にして 8=2 を対数の形に直せば log82= は○　， log28=3 は×

【問題1】　次の式を指数の形で表せ． 正しい選択肢をクリックしなさい．以下の問題も同様．解答すれば採点結果が表示され，解説を読むことができます．見ているだけでは解説は出ません． (1)　log10100=2 解説 ⇒ 210=100 ，　2100=10 ，　102=100 ，　10100=2 logaM=p → M=ap に当てはめると log10100=2 → 100=102 左辺と右辺を逆に書いてもよい →解説を隠す← (2)　5=log232 解説 ⇒　25=32，　　232=5，　　52=32 532=2，　　322=5，　　325=2 logaM=p → M=ap に当てはめると log232=5 → 32=25 左辺と右辺を逆に書いてもよい →解説を隠す← 【問題2】　次の式を対数の形で表せ． (1)　34=81 解説 ⇒　log34=81　，log381=4　，log43=81　，log481=3 ap=M → logaM=p に当てはめると 34=81 → log381=4 左辺と右辺を逆に書いてもよい →解説を隠す← (2)　0.1−3=1000 解説 ⇒　1000=log−30.1　，　−3=log10000.1， −3=log0.11000　，　3=log101000 ap=M → logaM=p に当てはめると 0.1−3=1000 → log0.11000=−3 左辺と右辺を逆に書いてもよい →解説を隠す←

[ 特別な真数 1 , a ] 　a>0 , a≠1 となるどんな a についても ______a0=1 だから loga1=0 が成立する． ______a1=a だから logaa=1 が成立する． ※前半は「真数が1のときは，底が何であっても対数の値は0になる」ということ． 後半は，「底と真数が同じならば，底が何であっても対数の値は1になる」ということ． 例1　log21=0 , log22=1 例2　log31=0 , log33=1 例3　log101=0 , log1010=1

【問題3】　次の値を求めよ． (1)　log33 解説 ⇒　0　，　　1　，　　3　，　　−1 「底と真数が同じならば，底が何であっても対数の値は1になる」 logaa=1 にあてはめると log33=1 →解説を隠す← (2)　log51 解説 ⇒　0　，　　1　，　　5　，　　−1 「真数が1のときは，底が何であっても対数の値は0になる」 loga1=0 にあてはめると log51=0 →解説を隠す←

[ 対数の和→真数は積 ] 　a>0 , a≠1 , M,N>0 のとき ______logaM+logaN=logaMN が成立する． ______例1　log54+log53=log5(4×3)=log512 ______例2　log62+log63=log6(2×3)=log66=1　（※ logaa=1） （解説） 　指数で表わされた数の積については，次の関係が成り立つ．axay=ax+y この関係を対数の形で表わぜば上記の性質が証明できる． すなわち，______ax=M , ay=N とおくと x=logaM , y=logaN axay=ax+y → MN=ax+y 　 　 ↓ logaM+logaN=logaMN ← x+y=logaMN ※　注意 足し算がかけ算に等しいということではない． 　　logaM+logaN　←＃等しくない＃→　logaM · logaN 「２つの対数の和」は「真数の積の対数」に等しいということ 　　logaM+logaN　←○等しい○→　logaMN

【問題4】　次の式の値に等しいものを選べ． (1)　log102+log103 解説 ⇒　1　，　　log105　　，　log106　，　　log102·log103 logaM+logaN=logaMN にあてはめると log102+log103=log10(2×3) すなわち log102+log103=log106 →解説を隠す← (2)　log123+log124 解説 ⇒　0　，　　1　，　　log127　，　　log123·log124 logaM+logaN=logaMN にあてはめると log123+log124=log1212 さらに，底と真数が等しいから log1212=1 →解説を隠す←

[ 対数の差→真数は商 ] 　a>0 , a≠1 , M,N>0 のとき ______logaM−logaN=loga が成立する． __例1　log618−log69=log6=log62 __例2　log612−log62=log6=log66=1(※logaa=1) （解説） 　指数で表わされた数の商については，次の関係が成り立つ． =ax−y この関係を対数の形で表わぜば上記の性質が証明できる． すなわち ______ax=M , ay=N とおくと x=logaM , y=logaN =ax−y → =ax−y 　 　 ↓ logaM−logaN=loga ← x−y=loga ※　注意 引き算が割り算に等しいということではない． 　　logaM−logaN　←＃等しくない＃→　 「２つの対数の差」は「真数の商の対数」に等しいということ 　　logaM−logaN　←○等しい○→　loga

【問題5】　次の式の値に等しいものを選べ． (1)　log310−log32 解説 ⇒log35 ， log38 ， log312 ， log320， logaM−logaN=loga 「対数の引き算は，真数の割り算」にあてはめると log310−log32=log3 すなわち log310−log32=log35 →解説を隠す← (2)　log26−log23 解説 ⇒　0　，　1　，　log23　，　log23 · log124 logaM−logaN=loga 「対数の引き算は，真数の割り算」にあてはめると log26−log23=log2 すなわち log26−log23=log22 さらに，底と真数が等しいから log22=1 →解説を隠す←

[ 真数のｎ乗→対数のｎ倍 ] 　a>0 , a≠1 , M>0 のとき　（n は任意の実数） ______logaMn = n logaM が成立する． ※ logaMn は loga(Mn) を表わす．(logaM)n を表わすときは必ず「かっこ」を付ける． ______例1　log10(23) = 3log102 ______例2　log381=log334 = 4log33=4　（※ logaa=1） 分数→負の指数，累乗根→分数の指数についても成り立つ． ______例3　log3 =log33−2 = −2log33=−2　（※ logaa=1） 　　引き算の方が得意な人は次のように変形してもよい． ______　log3 =log31 − log39 = 0−2=−2　（※ loga1=0） ______例4　log3 =log33 = log33= 　（※ logaa=1） （解説） 　指数の計算において，(ax)n=ax n が成り立つ． この関係を対数の形で表わぜば上記の性質が証明できる． すなわち，______ax=M とおくと ax=M → x=logaM ↓ 　 ax n=Mn → logaMn=x n=n logaM

【問題6】　次の式の値に等しいものを選べ． (1)　log281 解説 ⇒　3log24，　　 4log23，　　 2log34 4log32，　　 2log43，　　 3log42 log281=log234 と変形する． logaMn = n logaM にあてはめると log234 = 4 log23 →解説を隠す← (2)　log4 解説 ⇒　−2，−1，0, 1, 2 log4 =log44−2 と変形する． logaMn = n logaM にあてはめると log44−2 = −2 log44=−2 →解説を隠す← (3)　log3 解説 ⇒　− 3 , − ,− ， 　　　 , 3 log3 =log3 =log33 と変形する． logaMn = n logaM にあてはめると log33 = log33= →解説を隠す←

[ 係数があるとき ] 　a>0 , a≠1 , M>0 のとき　（n は任意の実数） ______n logaM = logaMn を利用して真数に吸収するとよい． ______例1　3log102= log10(23) = log108 次のような分数も「分数の指数」（=その意味は累乗根）に直せる． ______例2　 = log49= log4(9) = log43 ______例3　2log36 − = log362 − log364 ______= log336 − log364 = log336 − log34 ______= log3 = log39 = 2

【問題7】　次の式の値に等しいものを選べ． (1)　2log43 解説 ⇒　log45，　　　 log46，　　　 log48，　　　 log49 n logaM = logaMn にあてはめると 2 log43 = log432=log49 →解説を隠す← (2)　 解説 ⇒　−log103，　　 −log1036，　　 −log10， log103，　　 log1036，　　 log10 =log106 と変形する． n logaM = logaMn にあてはめると log106 = log106=log10 →解説を隠す←