指数関数，対数関数

分数(有理数)の指数

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　　

《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方　 • 累乗根　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較　 • ｎ乗比較　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，有理数（分数）の指数(1)の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 分数の指数(有理数の指数) == ■ $a,\hspace{2}b,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\hspace{10}a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
と定めると，有理数（分数） $x,\hspace{2}y$ について

(1) $a^xa^y=a^{x+ y}$
(2) $a^x\div a^y=a^{x-y}$
(3) $(a^x)^y=a^{xy}$
(4) $(ab)^x=a^{x}b^x$
(5) $(\frac{a}{b})^x=\frac{a^x}{b^x}$

が成り立つ．
解説

$(a^x)^n=a^{m}$ が成り立つとき
$a^{xn}=a^{m}\hspace{5}\Longrightarrow\hspace{5} xn=m\hspace{5} \Longrightarrow\hspace{5} x=\frac{m}{n}$
つまり， $(a^{\frac{m}{n}})^n=a^{m}$
一方， $\big(\sqrt[n]{a^m}\big)^n=a^{m}$
したがって， $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

【例題】･･･簡単にせよ

※途中経過は，分数の指数を使って計算するのがコツ．（累乗根で計算すると煩わしい．ただし，高校生が「機械的に答を出したときに，何を表しているのかが分かっていない場合があるので」
最終形だけ累乗根に直すことを求められることが多い．
高卒以上では，分数の指数のままでよいことが多い．

(1) $2^{\frac{1}{3}}\times4^{\frac{1}{3}}$

（解答） 2の指数に直して，横に並べる
$2^{\frac{1}{3}}\times4^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3}}\times (2^2)^{\frac{1}{3}}$
$=2^{\frac{1}{3}}\times 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}$
$=2^{1}=2$ ･･･（答）

(2) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$
ただし，a>0とする

（解答）分数の指数に直して，指数の和差積商で変形する．
$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\{a\times\big(a\times a^{\frac{1}{2}}\big)^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}$
$=\{a\times\big(a^{1+\frac{1}{2}}\big)^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}=\{a\times\big(a^{\frac{3}{2}}\big)^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}$
$=\{a\times a^{\frac{3}{4}}\}^{\frac{1}{2}}=\{a^{1+\frac{3}{4}}\}^{\frac{1}{2}}$
$=\{a^{\frac{7}{4}}\}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{7}{8}}}$
$=\sqrt[8]{a^7}$

■読み物■
　累乗や指数を初めて習うときは，指数は掛ける回数と定義します．
【例】
　a2はaを2回掛けたもの
　　a2=a×a
　a3はaを3回掛けたもの
　　a3=a×a×
　　･･･
　負の指数a−2や零の指数a0は，このようなものを考えればどうなるかという興味や関心から考えたというよりは，「指数法則が成り立つようにするために，負の指数や零の指数はどのように決めればよいか」というように，「指数法則から指数の定義を決めます」．
【例】
　指数法則am÷an=am−n
が成り立つようにするには

例えば
　a2÷a5=a−3
ところが，意味からいえば
　 $a^2\div a^5=\frac{1}{a^3}$
そこで
　 $a^{-3}=\frac{1}{a^3}$
と決めれば指数法則が自由に使えるようになります．

　分数の指数も以上と同様に，指数法則が成り立つように定義します．
【例】
指数法則(am)n=amnが成り立つようにするには

例えば(ax)3=a4となるxを考える
指数法則(am)n=amnが成り立つようにするには
　 $a^{3x}=a^4$
　 $3x=4$
　 $x=\frac{4}{3}$
一方
　 $\big(\sqrt[3]{a^4}\big)^3=a^4$
そこで
　 $a^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{a^4}$
と決めれば指数法則が自由に使えるようになります．

【例題】･･･簡単にせよ

(1) $27^{\frac{2}{3}}$

（解答）底の方を，素因数分解するところがミソ
$27^{\frac{2}{3}}=(3^3)^{\frac{2}{3}}=3^{3\times\frac{2}{3}}$
$=3^{2}=9$ ･･･（答）

(2) $16^{-\frac{1}{2}}$

（解答）底の方を，素因数分解するところがミソ
$16^{-\frac{1}{2}}=(4^2)^{-\frac{1}{2}}=4^{2\times(-\frac{1}{2})}$
$=4^{-1}=\frac{1}{4}$ ･･･（答）

(2) $\big(\frac{1}{4}\big)^{-\frac{1}{2}}$

（解答）底の方を，素因数分解するところがミソ
$\big(\frac{1}{4}\big)^{-\frac{1}{2}}=(2^{-2})^{-\frac{1}{2}}=2^{(-2)\times(-\frac{1}{2})}$
$=2^{1}=2$ ･･･（答）

■問題１　次の式に等しいものを，下の選択肢から選んでください．

(1) $3^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt[4]{3^5}$ $\sqrt[5]{3^4}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{3^5}}$

$\sqrt[3]{4^5}$ $\sqrt[5]{4^3}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$

$\sqrt[3]{5^4}$ $\sqrt[4]{5^3}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$
［解説を見る］

$a,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき， $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
だから
$3^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{3^5}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(2) $5^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt[4]{3^5}$ $\sqrt[5]{3^4}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{3^5}}$

$\sqrt[3]{4^5}$ $\sqrt[5]{4^3}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$

$\sqrt[3]{5^4}$ $\sqrt[4]{5^3}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$
［解説を見る］

$a,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき， $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
だから
$5^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{5^4}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(3) $5^{-\frac{3}{4}}$

$\sqrt[4]{3^5}$ $\sqrt[5]{3^4}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{3^5}}$

$\sqrt[3]{4^5}$ $\sqrt[5]{4^3}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$

$\sqrt[3]{5^4}$ $\sqrt[4]{5^3}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$
［解説を見る］

$a,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき， $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
だから
$5^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(4) $4^{-\frac{5}{3}}$

$\sqrt[4]{3^5}$ $\sqrt[5]{3^4}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{3^5}}$

$\sqrt[3]{4^5}$ $\sqrt[5]{4^3}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$

$\sqrt[3]{5^4}$ $\sqrt[4]{5^3}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$
［解説を見る］

$a,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき， $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
だから
$4^{-\frac{5}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$ ･･･（答） →［閉じる］←

■問題2　次の式に等しいものを，下の選択肢から選んでください．

(1) $9^{\frac{3}{2}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$9^{\frac{3}{2}}=(3^2)^{\frac{3}{2}}=3^{2\times\frac{3}{2}}=3^3=27$ ･･･（答） →［閉じる］←

(2) $8^{\frac{1}{3}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$8^{\frac{1}{3}}=(2^3)^{\frac{1}{3}}=2^{1}=2$ ･･･（答） →［閉じる］←

(3) $81^{-\frac{3}{4}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$81^{-\frac{3}{4}}=(3^4)^{-\frac{3}{4}}=3^{4\times(-\frac{3}{4})}=3^{-3}=\frac{1}{27}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(4) $3^{-\frac{7}{6}}\times 9^{\frac{1}{3}}\times 27^{\frac{1}{2}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$3^{-\frac{7}{6}}\times 9^{\frac{1}{3}}\times 27^{\frac{1}{2}}=3^{-\frac{7}{6}}\times (3^2)^{\frac{1}{3}}\times (3^3)^{\frac{1}{2}}$
$=3^{-\frac{7}{6}}\times 3^{\frac{2}{3}}\times 3^{\frac{3}{2}}=3^{-\frac{7}{6}+\frac{2}{3}+\frac{3}{2}}$
$=3^{\frac{6}{6}}=3^1=3$ ･･･（答） →［閉じる］←

(5) $6^{-2}\times 27^{\frac{5}{6}}\div 12^{-\frac{3}{2}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$6^{-2}\times 27^{\frac{5}{6}}\div 12^{-\frac{3}{2}}=(2\times 3)^{-2}\times(3^3)^{\frac{5}{6}}\div(2^2\times 3)^{-\frac{3}{2}}$
$=2^{-2}3^{-2}\times 3^{3\times\frac{5}{6}}\div(2^{2\times(-\frac{3}{2})}3^{-\frac{3}{2}})$
$=2^{-2-(-3)}3^{-2+\frac{5}{2}-(-\frac{3}{2})}=2^13^2=18$ ･･･（答） →［閉じる］←

(6) $24^{-1}\times 18^{\frac{1}{3}}\div 12^{-\frac{7}{3}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$24^{-1}\times 18^{\frac{1}{3}}\div 12^{-\frac{7}{3}}=(2^3\times 3)^{-1}\times (2\times 3^2)^{\frac{1}{3}}\div (2^{2}}\times 3)^{-\frac{7}{3}}$
$=2^{-3}3^{-1}\times 2^{\frac{1}{3}}3^{\frac{2}{3}}\div(2^{-\frac{14}{3}}3^{-\frac{7}{3}})$
$=2^{-3+\frac{1}{3}-(-\frac{14}{3})}3^{-1+\frac{2}{3}-(-\frac{7}{3})}=2^23^2=36$ ･･･（答） →［閉じる］←

■問題3　次の式に等しいものを，下の選択肢から選んでください．

(1) $\sqrt{\sqrt[3]{a}\hspace{1}\sqrt{b}}\div\sqrt[3]{ab}\times\sqrt{\sqrt[3]{ab^2}}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

累乗根で書かれた式を，分数の指数に直して，（指数の部分の）通分や約分の計算にしてしまうのがミソです．
$\sqrt{\sqrt[3]{a}\hspace{1}\sqrt{b}}\div\sqrt[3]{ab}\times\sqrt{\sqrt[3]{ab^2}}=(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\div(ab)^{\frac{1}{3}}\times((ab^2)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}$
$=a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{4}}\div(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}})\times(a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{3}})$ $=a^{\frac{1}{6}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}$
$=a^0b^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{b}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(2) $\sqrt{ab\sqrt{a}}\div a\sqrt{b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

累乗根で書かれた式を，分数の指数に直して，（指数の部分の）通分や約分の計算にしてしまうのがミソです．
$\sqrt{ab\sqrt{a}}\div a\sqrt{b}=(ab\times a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\div(ab^{\frac{1}{2}})$
$=(a^{\frac{3}{2}}b)^{\frac{1}{2}}\div(ab^{\frac{1}{2}})=(a^{\frac{3}{4}}b^{\frac{1}{2}})\div(ab^{\frac{1}{2}})$
$=a^{\frac{3}{4}-1}b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=a^{-\frac{1}{4}}b^0=\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(3) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}\div\sqrt[4]{a^6b^2}\times\raisebox{4pt}{a}\sqrt[3]{b^2}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

累乗根で書かれた式を，分数の指数に直して，（指数の部分の）通分や約分の計算にしてしまうのがミソです．
$\sqrt[3]{\sqrt{a}}\div\sqrt[4]{a^6b^2}\times\raisebox{4pt}{a}\sqrt[3]{b^2}=(a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}\div(a^6b^2)^{\frac{1}{4}}\times(ab^{\frac{2}{3}})$
$=a^{\frac{1}{6}}\div(a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}})\times(ab^{\frac{2}{3}})=a^{\frac{1}{6}-\frac{3}{2}+ 1}b^{-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}$
$=a^{-\frac{2}{6}}b^{\frac{1}{6}}=a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(4) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}\times\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}$

$a$ $\sqrt{a}$ $\sqrt[4]{a}$ $\sqrt[8]{a}$

$\frac{1}{a}$ $\frac{1}{\sqrt{a}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\frac{1}{\sqrt[8]{a}}$
［解説を見る］

$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}\times\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}=(a\times(a\times a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\times((a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$
$=(a\times (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{8}}$ $=(a\times a^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{8}}$
$=(a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{8}}=a^{\frac{7}{8}}\times a^{\frac{1}{8}}=a^1=a$ ･･･（答） →［閉じる］←

(5) $(ab)^{\frac{3}{2}}\times(a^2b)^{-\frac{1}{6}}\div(ab^2)^{\frac{1}{2}}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

$(ab)^{\frac{3}{2}}\times(a^2b)^{-\frac{1}{6}}\div(ab^2)^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2}}\times a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{6}}\div(a^{\frac{1}{2}}b)$
$=a^{\frac{3}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}-1}=a^{\frac{4}{6}}b^{\frac{2}{6}}$
$=a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a^2b}$ ･･･（答） →［閉じる］←

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(6) $(a^{\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{2}})^3\times(a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})^{-1}\times(a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}})$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

$(a^{\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{2}})^3\times(a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})^{-1}\times(a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}})$
$=a^{\frac{3}{4}}b^{-\frac{3}{2}}\times a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{3}}\times a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}}$
$=a^{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}b^{-\frac{3}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=a^1b^{-\frac{3}{2}}=\frac{a}{\sqrt{b^3}}$
$=\frac{a}{b\sqrt{b}}$ ･･･（答） →［閉じる］←