指数関数，対数関数

分数の指数（有理数の指数）

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　　

《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方　 • 累乗根　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較　 • ｎ乗比較　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，有理数（分数）の指数(2)の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです．
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== 分数の指数（有理数の指数）(2) == 【はじめに】
分数（有理数）の指数が付いている式は累乗根で表される式と同じものです．多くの場合，分数の指数を使って計算する方が累乗根のまま計算するよりも簡単になります．

■分数（有理数）の指数の定義
a>0であってm, nが正の整数であるとき

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$ と定義します．
特に
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}}$
$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}}$
負の指数と組み合わせるときは，次のようになります．
$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}}$
$a^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a}}}$
$a^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a}}}$

（解説）
≪具体例で考える≫
(ax)y=axyという指数法則が自由に使えるようにしたい．たとえば，(ax)3=a5となるxを求めたいとき

○指数法則が成り立つようにするには

(ax)3=a5→3x=5→x=

すなわち，
$a^{\frac{5}{3}}$
という分数の指数を考える必要がある．
このとき，
$\big(a^{\frac{5}{3}}\big)^3=a^5$ …(1)
という計算を考えていることになる．

○他方で，累乗根について次の関係がある．

( )3=a5…(2)

○(1)(2)から
$a^{\frac{5}{3}}=\sqrt[3]{a^5}$
と定義すればよいこと分かる．

≪一般に≫
指数法則によれば
$\big(a^{\frac{m}{n}}\big)^n=a^m$
他方で，累乗根の定義によれば
$\big(\sqrt[n]{a^m}\big)^n=a^m$
したがって
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\hspace{5}(\gt 0)$
と定義するとよい．

○　数の種類と演算の関係

　小学校では分数を習い，中学校では負の数，無理数（根号の付いた数）を習いましたが，このような数の種類の拡張は「割り算」や「引き算」のような演算の結果を表すために行われます．つまり，［数の種類→演算の考案］の順ではなく，［演算を自由に行う必要→数の種類の拡張］というように演算の結果を表す必要を優先的に考えて，これに応えられるように数の範囲を拡張したものです．
例
5÷3という演算の結果を表したい→分数を考えた．

3−5という演算の結果を表したい→負の数−2を考えた．
x2=3という方程式の解を表したい→無理数±を考えた．

○　（同様にして）指数の種類と演算の関係の考え方

（中学校：指数が登場），（高校数学II：負の指数が登場），（高校数学II：分数の指数が登場）と広げていくのは指数法則を自由に行うために必要だからです．
例
a3÷a5という演算の結果を表したい→負の指数a−2を考えた．
(ax)3=a5となるxを表したい→分数の指数 $a^{\frac{5}{3}}$ を考える．

≪要点≫

【例】

(1)
$8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}$

（解説）
$8^{\frac{2}{3}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^2=4$
$\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{(2^3)^2}=\sqrt[3]{2^6}=\sqrt[3]{(2^2)^3}=2^2=4$
したがって
$8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}$ が成り立つ

(2)
$32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}$

（解説）
$32^{\frac{1}{5}}=\big(2^5\big)^{\frac{1}{5}}=2^{5\times\frac{1}{5}}=2^1=2$
$\sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2$
したがって
$32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}$

(3)
$9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}$

（解説）
$9^{\frac{1}{2}}=(3^2)^{\frac{1}{2}}=3^{2\times\frac{1}{2}}=3^1=3$
$\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$
したがって
$9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}$

a, b>0であってp, qが有理数（分数または整数）のとき，次の計算法則が成り立つ．

apaq=ap+q …(1)
ap÷aq=ap−q …(2)
(ap)q=apq …(3)
(ab)p=apbp …(4)

()p= …(5)

例(2)，問題2(3)(4)，問題3(4)，問題4(2)～(5)のように問題が累乗根で書かれているときは，途中経過は分数の指数を使って行い，答を累乗根で書く必要があれば，結果を書き直すようにします．（累乗根のまま途中経過をやってしまうと計算が複雑になります．）

【例】　次の式を簡単にしてください．結果は負の指数や有理指数を使わずに表してください． (ただし，a, b>0とします)

(1)
$a^{\frac{1}{2}}\times a^{-\frac{1}{6}}$

（解説）
$a^{\frac{1}{2}}\times a^{-\frac{1}{6}}=a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}$
$=a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$ ･･･（答）

(2)
$\sqrt[3]{9}\div \sqrt[6]{3}$

（解説）
$\sqrt[3]{9}\div \sqrt[6]{3}=(3^2)^{\frac{1}{3}}\div 3^{\frac{1}{6}}$
$=3^{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}=3^{\frac{3}{6}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$ ･･･（答）

(3)
$\big(9^{-\frac{3}{2}}\big)^{\frac{1}{6}}$

（解説）
$\big(9^{-\frac{3}{2}}\big)^{\frac{1}{6}}=\{(3^2)^{-\frac{3}{2}}\}^{\frac{1}{6}}$
$=3^{2\times(-\frac{3}{2})\times\frac{1}{6}}=3^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ･･･（答）

(4)
$\big(a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{2}{3}}\big)^{-\frac{1}{2}}\times \big(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}\big)^{2}$

（解説）
$\big(a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{2}{3}}\big)^{-\frac{1}{2}}\times \big(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}\big)^{2}$
$=a^{\frac{2}{3}\times(-\frac{1}{2})}b^{-\frac{2}{3}\times(-\frac{1}{2})}\times a^{-\frac{1}{3}\times 2}b^{\frac{2}{3}\times 2}$
$=a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\times a^{-\frac{2}{3}}b^{\frac{4}{3}}$
$=a^{-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}$
$=a^{-1}b^{\frac{5}{3}}=\frac{b\sqrt[3]{b^2}}{a}$

問題１a>0のとき，次の累乗根をaxの形で表しなさい．選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません． (1) 　　解説 $a^{\frac{5}{4}}$ $a^{-\frac{5}{4}}$ $a^{\frac{4}{5}}$ $a^{-\frac{4}{5}}$	= $a^{\frac{4}{5}}$ →解説を隠す←
(2) 　　解説 $a^{6}}$ $a^{-6}$ $a^{\frac{1}{6}}$ $a^{-\frac{1}{6}}$	= $a^{\frac{1}{6}}$ 一般に = $a^{\frac{1}{n}}$ が成り立ちます →解説を隠す←
(3) 　　 $\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$ 解説 $a^{\frac{3}{2}}$ $a^{-\frac{3}{2}}$ $a^{\frac{2}{3}}$ $a^{-\frac{2}{3}}$	$\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}=\big(\sqrt[3]{a^2}\big)^{-1}=\big(a^{\frac{2}{3}}\big)^{-1}$ $=a^{-\frac{2}{3}}$ が成り立ちます． →解説を隠す←
(4) 　　 $\frac{1}{\sqrt{a}}$ 解説 $a^{2}$ $a^{-2}$ $a^{\frac{1}{2}}$ $a^{-\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{\sqrt{a}}=\big(\sqrt{a}\big)^{-1}=\big(a^{\frac{1}{2}}\big)^{-1}=a^{-\frac{1}{2}}$ 一般に $\frac{1}{\sqrt[n]{a}}=\big(\sqrt[n]{a}\big)^{-1}=\big(a^{\frac{1}{n}}\big)^{-1}=a^{-\frac{1}{n}}$ が成り立ちます． →解説を隠す←
問題２次の式の値を求めなさい．（正しいものを選んでください．） (1) 　　 $4^{\frac{3}{2}}$ 解説 1 2 4 8 16 32	底を素因数分解すると $\big(2^2\big)^{\frac{3}{2}}=2^3=8$ →解説を隠す←
(2) 　　 $16^{-\frac{3}{4}}$ 解説 1 2 4 8 16 32	底を素因数分解すると $\big(2^4\big)^{-\frac{3}{4}}=2^{-3}=\frac{1}{8}$ →解説を隠す←
(3) 　　 $\sqrt[3]{8^2}$ 解説 1 2 4 8 16 32	底を素因数分解すると $\sqrt[3]{8^2}=\big((2^3)^2\big)^{\frac{1}{3}}=2^{3\times 2\times\frac{1}{3}}$ $=2^{2}=4$ →解説を隠す←
(4) 　　解説 1 2 4 8 16 32	底を素因数分解すると $\{(2^{5})^4\}^{\frac{1}{5}}=2^{5\times 4\times\frac{1}{5}}=2^4=16$ →解説を隠す←
問題３次の式の値を求めなさい．（半角数字で空欄を埋めてください．） (1) $3^{-\frac{7}{6}}\times 9^{\frac{1}{3}}\times 27^{\frac{1}{2}}$ = 採点するやり直す解説	底を素因数分解する $3^{-\frac{7}{6}}\times (3^2)^{\frac{1}{3}}\times (3^3)^{\frac{1}{2}}$ 3の指数にして計算する $=3^{-\frac{7}{6}}\times 3^{\frac{2}{3}}\times 3^{\frac{3}{2}}=3^{-\frac{7}{6}+\frac{2}{3}+\frac{3}{2}}$ $=3^{-\frac{7}{6}+\frac{4}{6}+\frac{9}{6}}=3^{\frac{6}{6}}=3^1=3$ →解説を隠す←
(2) $6^{-2}\times 27^{\frac{5}{6}}\div 12^{-\frac{3}{2}}$ = 採点するやり直す解説	底を素因数分解する $(2\times 3)^{-2}\times (3^3)^{\frac{5}{6}}\div (2^2\times 3)^{-\frac{3}{2}}$ $=(2^{-2}\times 3^{-2})\times 3^{\frac{5}{2}}\div (2^{-3}\times 3^{-\frac{3}{2}})$ ２の指数，３の指数をそれぞれ集める $=2^{-2-(-3)}\times 3^{-2+\frac{5}{2}-(-\frac{3}{2})}$ $=2^{1}\times 3^{2}=18$ →解説を隠す←
(3) $24^{-1}\times 18^{\frac{1}{3}}\div 12^{-\frac{7}{3}}$ = 採点するやり直す解説	底を素因数分解する $(2^3\times 3)^{-1}\times (2\times 3^2)^{\frac{1}{3}}\div (2^2\times 3)^{-\frac{7}{3}}$ $=(2^{-3}\times 3^{-1})\times (2^{\frac{1}{3}}\times 3^^{\frac{2}{3}})\div (2^{-\frac{14}{3}}\times 3^{-\frac{7}{3}})$ ２の指数，３の指数をそれぞれ集める $=2^{-3+\frac{1}{3}-(-\frac{14}{3})}\times 3^{-1+\frac{2}{3}-(-\frac{7}{3})}$ $=2^{2}\times 3^{2}=36$ →解説を隠す←
(4) $\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{25}$ = 採点するやり直す解説	有理指数（分数の指数）に直す $\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{25}=5^{\frac{1}{3}}\times 25^{\frac{1}{3}}$ 底を素因数分解する $=5^{\frac{1}{3}}\times (5^2)^{\frac{1}{3}}$ $=5^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=5^1=5$ →解説を隠す←
問題４a, b>0のとき，次の式を簡単にしなさい．（正しいものを選んでください．） (1) $\big(a^{\frac{1}{4}}\big)^3\times\big(a^{-\frac{1}{2}}\big)^{-1}\times a^{-\frac{1}{4}}$ 解説 1 a $\frac{1}{\sqrt{a}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$	$\big(a^{\frac{1}{4}}\big)^3\times\big(a^{-\frac{1}{2}}\big)^{-1}\times a^{-\frac{1}{4}}$ $=a^{\frac{3}{4}}\times a^{\frac{1}{2}}\times a^{-\frac{1}{4}}=a^{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}$ $=a^{\frac{4}{4}}=a^1=a$ →解説を隠す←
(2) $\sqrt{ab\sqrt{a}}\div a\sqrt{b}$ 解説 1 a $\frac{1}{\sqrt{a}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$	累乗根を有理指数に直す $\sqrt{ab\sqrt{a}}\div a\sqrt{b}=\big(ab\times a^{\frac{1}{2}}\big)^{\frac{1}{2}}\div (ab^{\frac{1}{2}})$ $=(a^{\frac{3}{2}}b)^{\frac{1}{2}}\div (ab^{\frac{1}{2}})=a^{\frac{3}{4}}b^{\frac{1}{2}}\div (ab^{\frac{1}{2}})$ $=a^{\frac{3}{4}-1}b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=a^{-\frac{1}{4}}$ $=\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ →解説を隠す←
(3) $\frac{\sqrt[3]{a^4}}{a\hspace{2}\sqrt[3]{a}}}$ 解説 1 a $\frac{1}{\sqrt{a}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$	累乗根を有理指数に直す $\frac{\sqrt[3]{a^4}}{a\hspace{2}\sqrt[3]{a}}}=\frac{a^{\frac{4}{3}}}{a\times a^{\frac{1}{3}}}=\frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{1+\frac{1}{3}}}$ $=\frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}}=a^{\frac{4}{3}-\frac{4}{3}}=a^0=1$ →解説を隠す←
(4) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^2}}\div\sqrt[3]{\sqrt{a^4}}$ 解説 1 a $\frac{1}{\sqrt{a}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$	累乗根を有理指数に直す $\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^2}}\div\sqrt[3]{\sqrt{a^4}}=\{(a^2)^{\frac{1}{3}}\}^{\frac{1}{4}}\div\{(a^4)^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{3}}$ $=a^{2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}}\div a^{4\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{6}}\div a^{\frac{2}{3}}$ $=a^{\frac{1}{6}-\frac{2}{3}}=a^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a}}$ →解説を隠す←
(5) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}\times\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}$ 解説 1 a $\frac{1}{\sqrt{a}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください（↓↓）	累乗根を有理指数に直す $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}\times\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}=\{a\big(a\times a^{\frac{1}{2}}\big)^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}\times\{(a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}$ $=\{a\big(a^{\frac{3}{2}}\big)^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{8}}=\big(a\time a^{\frac{3}{4}}\big)^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{8}}$ $=\big(a^{\frac{7}{4}}\big)^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{8}}=a^{\frac{7}{8}}\times a^{\frac{1}{8}}$ $=a^{\frac{7}{8}+\frac{1}{8}}=a^1=a$ →解説を隠す←

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