指数関数，対数関数

対数の計算

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　　

《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方　 • 累乗根　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較　 • ｎ乗比較　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，対数計算(2)の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 対数の計算(2) ==

■解説
［要点］　対数の計算公式
(3)(4)(5)で変形して(1)(2)で締めくくるのが基本です．
○　数値に直す公式

$\log_a 1=0$ ･･･(1)
$\log_a a=1$ ･･･(2) $\log_a\hspace{2}\frac{1}{a}=-1$ ･･･(2’)

○　変形するための公式

$\log_a M+\log_aN=\log_aMN$ ･･･(3)
$\log_a M-\log_aN=\log_a\frac{M}{N}$ ･･･(4)
$n\log_a M=\log_aM^n$ ･･･(5)

（ただし，a>0, a≠1 , M, N>0）

※変形は「分ける」のでなく「集める」方が多い
(3)(4)(5)
　　通常の教科書、歴史上の意義：右辺→左辺
　　高校生が出会う問題：　　　　左辺→右辺

　通常、教科書や参考書においては(3)(4)(5)は、左辺と右辺が逆になっています．しかし、高校レベルの対数計算、対数方程式、対数不等式などを解く上では、左辺を右辺に変形する場面の方が多く、このページでは、通常の書き方と左右を逆にしています．
•数値計算の変形例　log62+log63=log66=1
•対数方程式の変形例　log2x+log2(x−1)=1
　　　　　　　　　　→ log2x(x−1)=log22
→ x(x−1)=2

※例外
「log56をlog52とlog53で表せ」というような問題では「分ける」方向で変形しますが、高校生が出会う問題の中ではわずかな量です．

(証明)
次の対数の定義を用いると(1)～(5)が示せます．

ab=c $\underset{\leftarrow}{\rightarrow}$ b=logac

(1)←
a>0のとき
　　a0=1
だから，これを対数の形に直すと
　　0=loga1
となります．

(2)←
　　a1=a
だから，これを対数の形に直すと
　　1=logaa
となります．

(2')←
(4)が使える場合［(4)の証明を先に行っている場合］
$\log_a\hspace{2}\frac{1}{a}$ =loga1−logaa=0−1=−1
となります．
(5)が使える場合［(5)の証明を先に行っている場合］
$\log_a\hspace{2}\frac{1}{a}=\log_aa^{-1}=-\log_aa$
(2)によりこれは−1に等しい

(3)←
ap=M, aq=N･･･[#1]のとき
　　MN=ap+q
だから、これを対数の形で表わすと
　　p+q=logaMN･･･[#2]
(#1)よりp=logaM，q=logaNだから
[#2]に代入すると
　　 logaM+logaN=logaMN

(4)← ap=M，aq=N･･･[#3] のとき $\frac{M}{N}=a^p\div a^q=a^{p-q}$ だから、これを対数の形で表わすと $p-q=\log_a\hspace{2}\frac{M}{N}$ ･･･[#4] [#3]よりp=logaM，q=logaNだから
[#4に代入すると
　　 $\log_a M-\log_aN=\log_a\frac{M}{N}$

(5)← ap=M のとき apn=Mn だから、これを対数の形で表わすと pn=logaMn p=logaMだから nlogaM=logaMn

[参考]
(3)(4)
○「和→右辺は積，差→右辺は商」ということですが

$\log_a M\times\log_aN$ や $\frac{\log_a M}{\log_aN}$ ではないことに注意．（この式の変形は，後で出てくる底の変換が考えられる程度．）

(5)

　一見むずかしそうですが、ダイナミックなジャンプに「味をしめて」使いこなせるようにしましょう．
　また，次のように「対数にする」変形もよく使います． 2=2log33=log332=log39
2=2log22=log222=log24

【問題１】　次の式を簡単にしてください．
（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$\log_3 3$

== 対数の計算(2) ==

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