指数関数，対数関数

底の変換公式

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　　

《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方　 • 累乗根　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較　 • ｎ乗比較　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，底の変換の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです．
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== 底の変換公式 == ■解説

【底の変換公式】

** 記憶に残る覚え方 **
格差社会
上の人はもっと上へ
下の人はもっと下へ

≪1.教科書などに書かれているメジャーな証明≫

≪対数の定義≫
指数関数と対数関数の関係
$a^r=b\leftarrow\rightarrow r=\log_ab$
(指数の形)　　(対数の形)

$\log_ab=x$ …(1)とおくと

$a^x=b$ が成り立つ

≪対数をとるとは≫
対数を「取って捨てる」ことではない
対数を考えること=対数を付けること

両辺にｃを底とする対数をとると
$\log_c(a^x)=\log_cb$

ここで次の公式を使う
$\log_c(a^x)=x\log_ca$
そうすると
$x\log_ca=\log_cb$
$x=\frac{\log_cb}{\log_ca}$
(1)を使って $x$ を元に戻すと
$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$ 　…証明終■

≪2.図による解説≫

$y=\frac{1}{x}\hspace{5}(x\gt 0)$ のグラフとｘ軸および， $x=1$ の直線， $x=a$ で囲まれる図形の面積を $S_a$ で表すことにする．
つまり， $x=1$ の右側にある面積を $S_a$ で表す．
このとき， $\log_ab$ は，右図の「水色」に対するの「黄緑」の比を表す．

$\log_ab=$

…(*1)

要するに， $\log_ab$ は， $a$ までの面積と $b$ までの面積の比になっています．
ただし， $x=1$ の右側にある面積を正とし，図の $b\apos$ のように $x=1$ の左側にある面積は負の符号をもつものとします．（以上のことは数学Ⅲで習います）

次に，(1)式の分母と分子をそれぞれ $c$ までの面積 $S_c$ で割ると

$\log_ab=$

…(*2)

(*2)は $\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$ を表しており， $c$ までの面積 $S_c$ を基準として書き直したものになっている．

【例題】　次の式を簡単にしなさい．

(1)
logab·logbc

答案　底をaにそろえる場合
　

(2)
logab·logbc·logca

　答案　底を第4の文字dにそろえる場合

(3)
log23·log34·log45·log56

答案　底を2にそろえる場合

(3)
log3x+2log9x

答案　底を3にそろえる場合
　

■問題１・・・次の空欄を埋めなさい．必ず，半角数字で入力してください． (1) log23·log32=		1…（答）
(2) 　log23·log94=		1…（答）
(3) 　log354−log936 =		$\log_3 9=\log_3 3^2=2\log_3 3=2$ （答）
(4) 　(log325+log95)(log53+log259) =		5…（答）
(5) log2x+log4x+log8x =log₂x　　　［ア］=，［イ］=		$\log_2 x+\frac{\log_2 x}{2}+\frac{\log_2 x}{3}=\frac{6+ 3+ 2}{6}\log_2 x=\frac{11}{6}\log_2 x$ …（答）

■問題２・・・log57=aとおくとき，次の各式の値をaで表しなさい．

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

(1)
$\log_75$

解説

$a$ $-a$ $\frac{1}{a}$ $-\frac{1}{a}$

$\log_75=\frac{\log_55}{\log_57}=\frac{1}{\log_57}=\frac{1}{a}$

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(2)
$\log_{\sqrt{5}}\sqrt{7}$

解説

$a$ $-a$ $\frac{1}{a}$ $-\frac{1}{a}$

$\log_{\sqrt{5}}\sqrt{7}=\frac{\log_5\sqrt{7}}{\log_5\sqrt{5}}=\frac{\frac{1}{2}\log_57}{\frac{1}{2}\log_55}=\frac{\log_57}{\log_55}=\log_57=a$

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(3)
$\log_{\frac{1}{7}}5$

解説

$a$ $-a$ $\frac{1}{a}$ $-\frac{1}{a}$

$\log_{\frac{1}{7}}5=\frac{\log_55}{\log_5\hspace{2}\frac{1}{7}}=\frac{1}{-\log_57}=-\frac{1}{a}$

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(4)
$\log_{5}\hspace{2}\frac{1}{7}$

解説

$a$ $-a$ $\frac{1}{a}$ $-\frac{1}{a}$

$\log_{5}\hspace{2}\frac{1}{7}=-\log_57=-a$

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【問題３】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$\log_23=a$ とするとき， $\log_46$ を $a$ で表してください．

解説やり直す

$a$ $\frac{a}{2}$ $\frac{a}{2}+ 1$ $\frac{a+ 1}{2}$

$\log_46=\frac{\log_26}{\log_24}=\frac{\log_2(2\times 3)}{\log_22^2}=\frac{\log_23+\log_22}{2\log_22}$
$=\frac{a+ 1}{2}$ …（答）

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(2)
$\log_23=a,\hspace{5}\log_27=b$ とするとき， $\log_{14}21$ を $a,\hspace{5}b$ で表してください．

解説やり直す

$a$ $\frac{a+ b}{2}$ $\frac{a+ b}{a+ 1}$ $\frac{a+ b}{b+ 1}$

$\log_{14}21=\frac{\log_221}{\log_214}=\frac{\log_2(7\times 3)}{\log_2(7\times 2)}=\fra{\log_27+\log_23}{\log_27+ \log_22}$
$=\fra{b+ a}{b+ 1}$ …（答）

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(3)
$(\log_{2}3+\log_49)(\log_34+\log_92)$ の値を求めてください．

解説やり直す

$1$ $2$ $5$ $10$

底を２にそろえる場合
$(\log_{2}3+\log_49)(\log_34+\log_92)$
$=(\log_23+\frac{\log_29}{\log_24})(\frac{\log_24}{\log_23}+\frac{\log_22}{\log_29})$
$=(\log_23+\frac{2\log_23}{2})(\frac{2}{\log_23}+\frac{1}{2\log_23})$
$=2\log_23\times\frac{5}{2\log_23}=5$ …（答）

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(4)
$\log_46,\hspace{10}\log_89,\hspace{10}\log_{16}27$ の大小を比較してください．

解説やり直す

$\log_46\lt\log_89\lt\log_{16}27$ $\log_89\lt\log_{16}27\lt\log_46$

$\log_89\lt\log_46\lt\log_{16}27$ $\log_{16}27\lt\log_89\lt\log_46$

$1\lt\log_{2}3=a\lt\log_24=2$ とおくと
$\log_46=\frac{\log_26}{\log_24}=\frac{\log_2(3\times 2)}{2\log_22}=\frac{a+ 1}{2}$
$\log_89=\frac{\log_29}{\log_28}=\frac{2\log_23}{3\log_22}=\frac{2a}{3}$
$\log_{16}27=\frac{\log_227}{\log_216}=\frac{\log_23^3}{4\log\22}=\frac{3\log_23}{4}=\frac{3a}{4}$
まず， $\frac{2a}{3}\lt\frac{3a}{4}$ が成り立つ．
次に, $\frac{a+ 1}{2}-\frac{3a}{4}=\frac{2a+ 2-3a}{4}=\frac{2-a}{4}=\frac{2-\log_23}{4}$
$=\frac{\log_24-\log_23}{4}\gt 0$
以上により, $\log_89\lt\log_{16}27\lt\log_46$ …（答）

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