指数関数，対数関数

【高校数学の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　 　 《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　 が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方 　 • 累乗根 　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較 　 • ｎ乗比較 　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数 ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，対数方程式の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 対数方程式 == 【対数方程式とは】 　対数関数の真数や底に未知数を含む方程式を対数方程式という． 【例1】　log2x=8 → log底真数=値の形において，真数が未知数になっている 【例2】　log2(x−1)+log2(4−x)=1 → よく出る形．2つの対数で，真数が未知数になっている 【例3】　logx9=2 → log底真数=値の形において，底が未知数になっている 【対数方程式の解き方】 (1)　対数の定義を使って，指数の形に直す． 　log底真数=値 ⇔ 真数=底値 (2)　対数関数が単調増加(底>1のとき)または単調減少(0<底<1のとき)であることにより， 底が同じで「2つの対数が等しければ，真数が等しい」と言えることを利用する． 　log底真数1=log底真数2　⇔　真数1=真数2 【例4】　log2x=3 → x=23だからx=8･･･（答） 【例5】　log2(x−1)=log2(3−x) → 両辺の底が2で同じだから，真数が等しければよい x−1=3−x 2x=4 x=2･･･（答） ※ただし，このような問題では，式の変形をする前に「原式で真数条件を検討しておく」のがよい． 理屈の上では，得られた結果を「原式」に代入して成立することを確かめてもよいが，「答が出てしまうと，嬉しくなって，舞い上がってしまって，油断しやすくなる」ので，真数条件は初めに検討するのがお薦めです．

【対数方程式の真数条件】 (*1)　（高校の数学では）対数の真数は「正の数」でなければならない． 【対数方程式の底の条件】 (*2)　（高校の数学では）対数の底は「正の数」かつ「1以外」でなければならない．･･･底の条件の方が真数条件よりも厳しいことに注意 【例5】(再掲)　log2(x−1)=log2(3−x)のとき 真数条件としてx−1>0, 3−x>0を満たさなければならない したがって，1<x<3が真数条件となる． 【例6】　logx8=3のとき 底の条件としてx>0, x≠1を満たさなければならない･･･(#1) 次に，x3=8よりx=2･･･(#2) (#1)(#2)よりx=2･･･（答） 《なぜ，対数方程式で，真数条件が必要なのか》 ● 数学の教科書には という公式が書かれていて，これが間違ってるはずがない！と思われるかもしれませんが，「実は，この公式には，前提条件があるのです」 ● すなわち a>0, a≠1, M>0, N>0のとき なので，M<0, N<0などのときは，成り立つとは限らないのです． 【例】 ･･･(*1) という方程式の解は，だけですが ･･･(*2) という方程式の解は，です． 　すなわち，原式が(*1)のように書かれている対数方程式を(*2)のように書き換えてから解くと，のような， （負の数）×（負の数）の形まで混ざって来ます． ● そこで，対数方程式を解くときは，「問題文を変形する前の，原式の段階で真数になっている式は，すべて正でなければならない」という真数条件を求めておくのがよい． ● 数学的には，対数方程式を解いてから，原式を満たすものだけを解としても同じことですが，「試験に臨む生徒は，問題が解けたら，嬉しくなって舞い上がってしまって，警戒心が緩みやすいのです」．だから，『緊張している最初の段階で，原式から真数条件を求めておく方が，間違いが少ない』と言えます･･･登山の事故は，全行程の４分の３を過ぎた辺りで起こる（魔の２時）といわれているのと同様です．

【例題1】　次の対数方程式を解いてください． 　　log3x=4 （解答） 対数の定義を使って，指数の形に直す log底真数=値 ⇔ 真数=底値 log3x=4 を指数の形 に直すと x=34=81･･･（答） 真数条件を調べることを忘れていないか？と思う人へ 　初めに「真数条件より，x>0」書くのはよいことです．ただし，a, b>0のときに，指数関数の値ab=cのcがつねに正(>0)となることは，教科書に何度も書かれている常識なので，ここでは省略しても構わない．

【問題1】　次の対数方程式を解いてください． 空欄には「半角数字」で入力してください． 採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません． (1) 　log2x=3のとき x= 採点する解答を読むやり直す 対数の定義を使って，指数の形に直す log底真数=値 ⇔ 真数=底値 log2x=3 を指数の形 に直すと x=23=8･･･（答） →解答を隠す←

(2) log2x=−1のとき x= 1 採点する解答を読むやり直す log2x=−1を指数の形に直すと ･･･（答） →解答を隠す←

(3) 　2=log3(x−1)のとき x= 採点する解答を読むやり直す 2=log3(x−1) を指数の形に直すと x−1=32=9 x=10･･･（答） →解答を隠す←

【例題2】　次の対数方程式を解いてください． 　　log2(x−1)+log2(4−x)=1 （解答） 真数条件を調べる 　　x−1>0, 4−x>0より1<x<4･･･(#1) このとき 　　log2(x−1)(4−x)=1 より 　　(x−1)(4−x)=21=2 　　x2−5x+6=0 　　(x−2)(x−3)=0 　　x=2, 3･･･(#2) (#1)(#2)よりx=2, 3･･･（答） （別解） 次のように，定数を対数に書き換えると，両辺の真数の比較の問題になる．（慣れたらこの方が楽） 真数条件は(#1)同じ 対数方程式の右辺を対数にする log2(x−1)(4−x)=log22 より 　　(x−1)(4−x)=2 以下同様

【問題2】　次の対数方程式を解いてください． 空欄には「半角数字」で入力してください． 採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません． (1) 　log3(x−2)+log3(5−x)=log3(2x−6)のとき x= 採点する解答を読むやり直す 底が同じで「2つの対数が等しければ，真数が等しい」と言えることを利用する． 　log底真数1=log底真数2　⇔　真数1=真数2 真数条件を調べる 　　x−2>0, 5−x>0, 2x−6>0より3<x<5･･･(#1) このとき 　　log3(x−2)(5−x)=log3(2x−6) より 　　(x−2)(5−x)=(2x−6) 　　x2−5x+4=0 　　(x−1)(x−4)=0 　　x=1, 4･･･(#2) (#1)(#2)よりx=4･･･（答） →解答を隠す←

(2) 　log2(x−1)+log2(x+1)=3のとき x= 採点する解答を読むやり直す 真数条件を調べる 　　x−1>0, x+1>0よりx>1･･･(#1) このとき 　　log2(x−1)(x+1)=3 より 　　(x−1)(x+1)=23=8 　　x2−1=8 　　x2=9 　　x=±3･･･(#2) （別解） このとき log2(x−1)(x+1)=3 =log28 より (x−1)(x+1)=8 x2−1=8 x2=9 x=±3･･･(#2) (#1)(#2)よりx=3･･･（答） →解答を隠す←

(3) 　3+log2x=log2(x+7)のとき x= 採点する解答を読むやり直す 真数条件を調べる 　　x>0, x+7>0よりx>0･･･(#1) このとき 　　3log22+log2x=log2(x+7) 　　log223+log2x=log2(x+7) 　　log28+log2x=log2(x+7) 　　log28x=log2(x+7) より 　　8x=x+7 　　x=1･･･(#2) (#1)(#2)よりx=1･･･（答） →解答を隠す←

【対数に係数が付いている場合】 　右図のように，係数を真数の指数として対数の中に取り込むとよい． 【例7】

【対数が分数の分子になっている場合】 　分数の係数として扱うと，１つ前の場合と同じ扱いになる 　両辺の分母を払ってもよい 【例8】

【例題3】　次の対数方程式を解いてください． 　　log5(x+3)=2log5(x+1) （解答） 真数条件を調べる 　　x+3>0, x+1>0よりx>−1･･･(#1) このとき 　　log5(x+3)=log5(x+1)2 より 　　(x+3)=(x+1)2 　　x2+x−2=0 　　(x+2)(x−1)=0 　　x=−2, 1･･･(#2) (#1)(#2)よりx=1･･･（答）

【問題3】　次の対数方程式を解いてください． 空欄には「半角数字」で入力してください． 採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません． (1) 　2log3(x−2)=log3(x+4)のときx= 採点する解答を読むやり直す 真数条件を調べる 　　x−2>0, x+4>0よりx>2･･･(#1) このとき 　　log3(x−2)2=log3(x+4) より 　　(x−2)2=x+4 　　x2−5x=0 　　x(x−5)=0 　　x=0, 5･･･(#2) (#1)(#2)よりx=5･･･（答） →解答を隠す←

(2) 　 のときx= 採点する解答を読むやり直す 真数条件を調べる 　　x−1>0, x+2>0よりx>1･･･(#1) このとき 　　 　　 　　 より 　　(x−1)2=4(x+2) 　　x2−2x+1=4x+8 　　x2−6x−7=0 　　(x+1)(x−7)=0 　　x=−1, 7･･･(#2) (#1)(#2)よりx=7･･･（答） →解答を隠す←

(3) 　 のときx= 採点する解答を読むやり直す 真数条件を調べる 　　x+1>0, x−2>0よりx>2･･･(#1) このとき，底の変換公式を用いると 　　 　　 　　 　　 　　 より 　　x3−3x−18=0 　　(x−3)(x2+3x+6)=0 ここで，x2+3x+6は判別式がD=9−24=−15<0だから，x2+3x+6>0 他方の因数から 　　x=3･･･(#2) (#1)(#2)よりx=3･･･（答） →解答を隠す←

【対数の2次方程式などになっている場合】 • それぞれに対数について，真数条件（真数>0）は検討しなければならない． • log2x=yとおく場合，真数がx>0の範囲であっても，対数はすべてての実数値をとり得ることに注意． 【例題4】　 次の対数方程式を解いてください． 　 （解答） 真数条件から，x>0･･･(#1) 元の方程式は 　 と変形できるから log2x=yとおくと 　y2−2y−3=0 　(y−3)(y+1)=0 　y=3, −1 log2x=3, −1より 　･･･(#2) (#1)(#2)より 　･･･(答)

【問題4】　次の対数方程式を解いてください． 空欄には「半角数字」で入力してください． 採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません． (1) 　 のとき x=, 採点する解答を読むやり直す 真数条件を調べる 　　x>0･･･(#1) このとき 　　 と変形できるから log2x=yとおくと 　　4y2−5y+1=0 　　(4y−1)(y−1)=0 より 　　 xに戻すと 　　 　　･･･(#2) (#1)(#2)より･･･（答） →解答を隠す←

(2) 　 のとき x= , , （小さい順に答えてください） 採点する解答を読むやり直す 真数条件を調べる 　　x>0･･･(#1) このとき 　　 さらに底の変換公式により 　　 　　 　　 と変形できるから log2x=yとおくと 　　y3=y 　　y(y−1)(y+1)=0 より 　　y=0, 1, −1 xに戻すと 　　 　　･･･(#2) (#1)(#2)より･･･（答） →解答を隠す←

(3) 　 のとき x=, （小さい順に答えてください） 採点する解答を読むやり直す 真数条件を調べる 　　x>0･･･(#1) このとき底の変換公式により 　　 　　 分母を払う 　　 　　 log2x=yとおくと 　　3y=y2 　　y(y−3)=0 より 　　y=0, 3 xに戻すと 　　 　　x=1, 8･･･(#2) (#1)(#2)よりx=1, 8･･･（答） →解答を隠す←

（再掲） 【対数方程式の底の条件】 (*2)　（高校の数学では）対数の底は「正の数」かつ「1以外」でなければならない．･･･底の条件の方が真数条件よりも厳しいことに注意 【例6】　logx8=3のとき 底の条件としてx>0, x≠1を満たさなければならない･･･(#1) 次に，x3=8よりx=2･･･(#2) (#1)(#2)よりx=2･･･（答） 【例題6】　 次の対数方程式を解いてください．

（解答） 真数条件から，x>0 底の条件から，x>0, x≠1 以上により，x>0, x≠1･･･(#1) 底の変換公式を用いると，元の方程式は 　 　 　 と変形できるから log3x=yとおくと 　y2=1 　y=±1 元のxに戻すと log3x=1, −1より 　･･･(#2) (#1)(#2)より 　･･･(答)

【問題5】　次の対数方程式を解いてください． 空欄には「半角数字」で入力してください． 採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません． (1) 　 のとき x= , （小さい順に答えてください） 採点する解答を読むやり直す 真数条件を調べる 　　x>0･･･(#1) このとき底の変換公式により 　　 　　 分母を払うと 　　 と変形できるから log3x=yとおくと 　　y2−2y−3=0 　　(y−3)(y+1)=0 より 　　y=3, −1 xに戻すと 　　 　　･･･(#2) (#1)(#2)より･･･（答） →解答を隠す←

(2) 　 のとき x=， （小さい順に答えてください） 採点する解答を読むやり直す 真数条件，底の条件を調べる 　　x>0, x≠1･･･(#1) 底の変換公式を用いると 　　 　　 と変形できるから log2x=yとおくと 分母を払うと 　　3y2−7y+2=0 　　(3y−1)(y−2)=0 より 　　 xに戻すと 　　 　　･･･(#2) (#1)(#2)より･･･（答） →解答を隠す←

《まとめの問題》 　次の方程式を解きなさい。 空欄を「半角数字で」埋めてください． 採点すれば採点結果と解答が出ます．採点しなければ，解答は出ません． (1) 　log10x+log10(x+7)=1+log10(x+1) (答案) 真数条件　x>0，x+>0，x+1>0より x>･･(1) 方程式を変形すると log10x+log10(x+7)=log10+log10(x+1) log10x(x+7)=log10 (x+1) x(x+7)=10(x+1)を解くと x=，− ・・・(2) (1)(2)より x=･･答

(2) log2(x-1)=log2(5x+3)-log2(x+2) (答案) 真数条件　x-1>0，5x+3>0，x+2>0より x > ･･(1) 方程式を変形すると 　log2(x−1)+log2(x+2)=log2(5x+3) 　log2(x−1)(x+2)=log2(5x+3) 　(x−1)(x+2)=(5x+3) 　x2+x−2=5x+3 　x2−4x−5=0 　(x−5)(x+1)=0 　x=5，−1 (1)(2)より，x=・・答

(3) 　 (答案) 真数条件　x+6>0，x−2>0 より x>2･･(1) 底を２にそろえると [ア]= [イ]= [ウ]= [エ]= [オ]= [カ]= (4) 　(log2x)2−log2x3−10 =0 (答案) 真数条件　x>0，x3>0 より x>0･･(1) (log2x)2− log2x−10 =0 log2x=A とおくと (A は正でも負でも可能!!) A2−A−10=0 (A-5)(A+2)=0 A=5，−2 log2x=5，−2より x =，･･(2) (1)(2)より 　x =，・・答   [ア]= [イ]= [ウ]= [エ]=

(5) (答案) 真数条件　x>0･･(1) このとき両辺とも正だから底2の対数をとると ・・(2) (1)(2)より [ア]= [イ]= [ウ]=