指数関数，対数関数

累乗根

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　　

《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方　 • 累乗根　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較　 • ｎ乗比較　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，累乗根の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 累乗根 ==

◆解説◆
■n乗根の定義
　n乗してaになる元の数をaのn乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ で表します。

$X^n=a\hspace{5}(a\gt 0)$ となる元の数 $X$ を $a$ のn乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ で表す．
すなわち，

［累乗根の定義］： $X^n=a\leftarrow\rightarrow X=\sqrt[n]{a}$

（覚え方：漫才コンビの荷物）
$X$ が肩の荷物を降ろして楽になると，相方 $a$ の手のひらに荷物が乗る．→ $\sqrt[n]{a}$

　特に，n=2の場合だけnを省略して $\sqrt{a}$ と書きます。

　( $\sqrt{a}$ は $\sqrt[1]{a}$ ではなく， $\sqrt[2]{a}$ を表します。)

■右のグラフから分かるように　
(1)　nが奇数のときxn=aとなるxの値は，aの正負によらず常にただ１つ存在し，この値を $\sqrt[n]{a}$ で表わします。
(2)　nが偶数のときはa>0のとき，xn=aとなるxの値は，２つ存在しますので，そのうち正の値を $\sqrt[n]{a}$ で，負の値を $-\sqrt[n]{a}$ で表わします。a<0のときは，xn=aとなるxの値はありません。

※　a>0の範囲で考える限り，nが奇数でも，偶数でもxn=aとなるxの値はただ１つ存在し，その値が $\sqrt[n]{a}$ です。
このページでは，以下においてa>0の場合のみ扱います。

■例
23=8だから $\sqrt[3]{8}=2$

32=9だから $\sqrt{9}=3$ (省略すれば２乗根)

$\big(\frac{1}{2}\big)^4=\frac{1}{16}$ だから $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}$

(−2)5=−32だから $\sqrt[5]{-32}=-2$

■累乗根の性質

基本 a>0，nは正の整数とするとき
(0)　 $\sqrt[n]{a^n}=a$

a, b>0，m, n, pは正の整数とする．
(1)　 $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
(2)　 $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
(3)　 $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$
(4)　 $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
(5)　 $\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$

■例と解説■
(1)
≪例≫
　 $\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2$ ， $\sqrt[5]{27}\sqrt[5]{9}=\sqrt[5]{3^5}=3$
≪解説≫
　累乗根の定義から $x^{n}=ab$ のとき， $x=\sqrt[n]{ab}$ と書く

$(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b})^n=(\sqrt[n]{a})^n(\sqrt[n]{b})^n=ab$
だから
$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ （証明終）

(2)
≪例≫
　 $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{5}$ ， $\sqrt[5]{96}\sqrt[5]{3}=\sqrt[5]{32}=2$
≪解説≫
　累乗根の定義から $x^{n}=\frac{a}{b}$ のとき， $x=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ と書く

$\big(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\big)^n=\frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n}=\frac{a}{b}$
だから
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ （証明終）

(3)
≪例≫
　 $\big(\sqrt[3]{4}\big)^2=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}$ ， $\big(\sqrt[4]{9}\big)^2=\sqrt[4]{9^2}=\sqrt[4]{3^4}=3$
≪解説≫
a, b>0，m, nは正の整数だから
$\big(\sqrt[n]{a}\big)^m\gt 0,\hspace{5}\sqrt[n]{a^m}\gt 0$ が成り立つ
さらに

$\{\big(\sqrt[n]{a}\big)^m\}^n=\big(\sqrt[n]{a}\big)^{mn}=\{(\sqrt[n]{a})^n\}^m=a^m$
$(\sqrt[n]{a^m})^n=a^m$
これら2つは等しいから
$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$ （証明終）
※n乗根とm乗は，どちらを先に行っても，結果が同じになるということです．

(4)
≪例≫
　 $\sqrt{\sqrt[3]{7}}=\sqrt[6]{7}$ ， $\sqrt[3]{\sqrt{729}}=\sqrt[6]{729}=\sqrt[6]{3^6}=3$
≪解説≫
a, b>0，m, nは正の整数だから
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\gt 0,\hspace{5}\sqrt[mn]{a}\gt 0$ が成り立つ
さらに

$\big(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\big)^{mn}=a$
$\big(\sqrt[mn]{a}\big)^{mn}=a$
これら2つは等しいから
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$ （証明終）

(5)
≪例≫
　 $\sqrt[6]{8^4}=\sqrt[3]{8^2}=(\sqrt[3]{8})^2=4$ ， $\sqrt[9]{5^6}=\sqrt[3]{5^2}$
≪解説≫
a, b>0，m, n, pは正の整数だから
$\sqrt[np]{a^{mp}}\gt 0,\hspace{5}\sqrt[n]{a^m}\gt 0$ が成り立つ
さらに

$\big(\sqrt[np]{a^{mp}}\big)^{np}=a^{mp}$
$\big(\sqrt[n]{a^m}\big)^{np}=a^{mp}$
これら2つは等しいから
$\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$ （証明終）

※重要※
　上記の累乗根の性質(1)～(5)のうち単純なものは使いますが，後に登場する分数指数を用いた計算の方が楽です。
　教科書においても，累乗根の性質の練習問題は取り扱いが薄いように感じられます。
　ただし，問題と解答は累乗根形式に指定されていることがあります。

※筆者おすすめの方法※

⇒ 分数の指数を用いて計算する方がよい．例えば，(5)は指数に関して，単に約分することと同じになり，覚える必要がない．

【問題1】
与えられた式に等しいものを下の選択肢のうちから選んでください。

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません．以後の問題も同様です．

(1)
$\sqrt[3]{8}$

0 1 2 3 4 6 10 12

$\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $\sqrt[3]{2}$ $2\sqrt[3]{2}$ $3\sqrt[3]{2}$ $\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}$
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$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$ →解説を隠す←

(2)
$\sqrt[4]{81}$

0 1 2 3 4 6 10 12

$\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $\sqrt[3]{2}$ $2\sqrt[3]{2}$ $3\sqrt[3]{2}$ $\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}$
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$\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3$ →解説を隠す←

(3)
$\sqrt[5]{100000}$

0 1 2 3 4 6 10 12

$\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $\sqrt[3]{2}$ $2\sqrt[3]{2}$ $3\sqrt[3]{2}$ $\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}$
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$\sqrt[5]{100000}=\sqrt[5]{10^5}=10$ →解説を隠す←

(4)
$\sqrt[3]{54}$

0 1 2 3 4 6 10 12

$\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $\sqrt[3]{2}$ $2\sqrt[3]{2}$ $3\sqrt[3]{2}$ $\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}$
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$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{2\times 3^3}=3\sqrt[3]{2}$ →解説を隠す←

(5)
$\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$

0 1 2 3 4 6 10 12

$\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $\sqrt[3]{2}$ $2\sqrt[3]{2}$ $3\sqrt[3]{2}$ $\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}$
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$\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\sqrt[3]{\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^3}=\frac{1}{4}$ →解説を隠す←

(6)
$\sqrt[3]{\frac{32}{27}}$

0 1 2 3 4 6 10 12

$\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $\sqrt[3]{2}$ $2\sqrt[3]{2}$ $3\sqrt[3]{2}$ $\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}$
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$\sqrt[3]{\frac{32}{27}}=\sqrt[3]{\frac{2^5}{3^3}}=\frac{2}{3}\hspace{3}\sqrt[3]{2^2}=\frac{2}{3}\hspace{3}\sqrt[3]{4}$ →解説を隠す←

(7)
$\sqrt[4]{\frac{81}{16}}$

0 1 2 3 4 6 10 12

$\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $\sqrt[3]{2}$ $2\sqrt[3]{2}$ $3\sqrt[3]{2}$ $\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}$
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$\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^4}=\frac{3}{2}$ →解説を隠す←

【問題2】
x, y>0のとき，与えられた式に等しいものを下の選択肢のうちから選んでください。

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません．以後の問題も同様です．

(1)
$\sqrt[4]{x^6y^3}$

$x\hspace{3}\sqrt[3]{y}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{y^2}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{xy}$ $x\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y^3}$

$y\hspace{3}\sqrt[3]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[5]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y}$ $x^2y\hspace{3}\sqrt[5]{y}$ $xy^2\hspace{3}\sqrt[5]{y}$
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$\sqrt[4]{x^6y^3}=\sqrt[4]{x^4\times x^2y^3}=x\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y^3}$ →解説を隠す←

【要点】

(2)
$\sqrt[3]{xy^3}$

$x\hspace{3}\sqrt[3]{y}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{y^2}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{xy}$ $x\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y^3}$

$y\hspace{3}\sqrt[3]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[5]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y}$ $x^2y\hspace{3}\sqrt[5]{y}$ $xy^2\hspace{3}\sqrt[5]{y}$
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$\sqrt[3]{xy^3}=y\hspace{3}\sqrt[3]{x}$ →解説を隠す←

(3)
$\sqrt[3]{x^3y^2}$

$x\hspace{3}\sqrt[3]{y}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{y^2}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{xy}$ $x\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y^3}$

$y\hspace{3}\sqrt[3]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[5]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y}$ $x^2y\hspace{3}\sqrt[5]{y}$ $xy^2\hspace{3}\sqrt[5]{y}$
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$\sqrt[3]{x^3y^2}=x\hspace{3}\sqrt[3]{y^2}$ →解説を隠す←

(4)
$\sqrt[4]{x^2y^5}$

$x\hspace{3}\sqrt[3]{y}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{y^2}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{xy}$ $x\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y^3}$

$y\hspace{3}\sqrt[3]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[5]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y}$ $x^2y\hspace{3}\sqrt[5]{y}$ $xy^2\hspace{3}\sqrt[5]{y}$
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$\sqrt[4]{x^2y^5}=y\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y}$ →解説を隠す←

(5)
$\sqrt[5]{x^{10}y^6}$

$x\hspace{3}\sqrt[3]{y}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{y^2}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{xy}$ $x\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y^3}$

$y\hspace{3}\sqrt[3]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[5]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y}$ $x^2y\hspace{3}\sqrt[5]{y}$ $xy^2\hspace{3}\sqrt[5]{y}$
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$\sqrt[5]{x^{10}y^6}=x^2y\hspace{3}\sqrt[5]{y}$ →解説を隠す←

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(6)
$\sqrt[5]{x^5y^{11}}$

$x\hspace{3}\sqrt[3]{y}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{y^2}$ $x\hspace{3}\sqrt[3]{xy}$ $x\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y^3}$

$y\hspace{3}\sqrt[3]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[5]{x}$ $y\hspace{3}\sqrt[4]{x^2y}$ $x^2y\hspace{3}\sqrt[5]{y}$ $xy^2\hspace{3}\sqrt[5]{y}$
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$\sqrt[5]{x^{5}y^{11}}=xy^2\hspace{3}\sqrt[5]{y}$ →解説を隠す←