指数関数，対数関数

対数の定義

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　　

《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方　 • 累乗根　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較　 • ｎ乗比較　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，対数の定義の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです．
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* 対数の定義 *

解説
○　y=axのときに，xをyで表わしたいとき，これまでに習った関数(整関数，分数関数，無理関数，指数関数，三角関数など)で表せないので，新しく
logax
という関数を考えます

【例1】
　　2x=3 のとき x=log23

読み方：logax → ログ，エー,エックス
日本語での読み方：logax → aを底とするxの対数
語源：logarithm (ロガリズム:対数)の先頭3文字

※　対数に慣れるまでは違和感がありますが，ある対数が何を表わしているかは，指数の形に直してみれば分かります。

【例2】
　　log10100=2 とは

102=100
ということです。

【例3】
　　3=log28 とは

23=8
ということです。

［要点］
対数の定義

※102=100 を対数の形にするには

2=･･･に直すために対数を考えているのだから，
指数2を外に出します（中のものは外へ）
代わりに100を中に入れます（外のものは中へ）
指数関数の底10は，対数関数の底10です。

102=100 $\underset{\leftarrow}{\rightarrow}$ 2=log10100

※対数の形log28=3 を指数の形に直すときも中は外，外は中，底は底でできます。

log28=3 $\underset{\leftarrow}{\rightarrow}$ 23=8

中：8は， $\underset{\leftarrow}{\rightarrow}$ 　外：8
外：3は， $\underset{\leftarrow}{\rightarrow}$ 　中：3
底：2は， $\underset{\leftarrow}{\rightarrow}$ 　底：2

※「外と中の見分け方が分からん」という感想があったが，関数の外に出ている物を外というのは，「見た目のまんま」です･･･
　　log底中=外　|　外=log底中

　　　底中=外　　|　　外=底中

【例4】　次の各式を対数の形で表しなさい。

問題	答
32=9	2=log39
10−1=0.1	log100.1=−1
125=53	log5125=3

※指数関数や対数関数が左辺にあっても，右辺にあっても変形できるように、「中←→外，底←→底」と考えます。

【例5】　次の各式を指数の形で表しなさい。

問題	答
log232=5	25=32
log100.001=−3	10−3=0.001
log31=0	30=1

※　どちらを左辺に書いてもかまいません。

問題1　次の各式を対数の形に直してください

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

(1)
$3^{-2}=\frac{1}{9}$

$3=\log_28$ $\log_2\hspace{2}\frac{1}{8}=-3$ $\log_82=\frac{1}{3}$ $2=\log_8\hspace{2}\frac{1}{3}$

$\log_39=2$ $-2=\log_3\hspace{2}\frac{1}{9}$ $\log_93=\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}=\log_9\hspace{2}\frac{1}{3}$
解説

$3$ $^{-2}$ $=$ $\frac{1}{9}$ $\rightarrow$ $\log$ $_3$ $\frac{1}{9}$ $=$ $-2$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

※選択肢の式が正しいかどうかを尋ねているのではありません．与えられた指数の形に「対応している対数の形」はどれかと訊いています．
　例えば， $\log_216=4$ も $\log_416=2$ も，いずれも式としては正しいのですが，指数の形 $2^4=16$ に「対応している対数の形」は， $\log_216=4$ です．

(2)
$3=9^{\frac{1}{2}}$

$3=\log_28$ $\log_2\hspace{2}\frac{1}{8}=-3$ $\log_82=\frac{1}{3}$ $2=\log_8\hspace{2}\frac{1}{3}$

$\log_39=2$ $-2=\log_3\hspace{2}\frac{1}{9}$ $\log_93=\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}=\log_9\hspace{2}\frac{1}{3}$
解説

$9$ $^{\frac{1}{2}}$ $=$ $3$ $\rightarrow$ $\log$ $_9$ $3$ $=$ $\frac{1}{2}$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

(3)
$2^{3}=8$

$3=\log_28$ $\log_2\hspace{2}\frac{1}{8}=-3$ $\log_82=\frac{1}{3}$ $2=\log_8\hspace{2}\frac{1}{3}$

$\log_39=2$ $-2=\log_3\hspace{2}\frac{1}{9}$ $\log_93=\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}=\log_9\hspace{2}\frac{1}{3}$
解説

$2$ $^3$ $=$ $8$ $\rightarrow$ $\log$ $_2$ $8$ $=$ $3$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

(4)
$2^{-3}=\frac{1}{8}}$

$3=\log_28$ $\log_2\hspace{2}\frac{1}{8}=-3$ $\log_82=\frac{1}{3}$ $2=\log_8\hspace{2}\frac{1}{3}$

$\log_39=2$ $-2=\log_3\hspace{2}\frac{1}{9}$ $\log_93=\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}=\log_9\hspace{2}\frac{1}{3}$
解説

$2$ $^{-3}$ $=$ $\frac{1}{8}$ $\rightarrow$ $\log$ $_2$ $\frac{1}{8}$ $=$ $-3$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

(5)
$3^{2}=9$

$3=\log_28$ $\log_2\hspace{2}\frac{1}{8}=-3$ $\log_82=\frac{1}{3}$ $2=\log_8\hspace{2}\frac{1}{3}$

$\log_39=2$ $-2=\log_3\hspace{2}\frac{1}{9}$ $\log_93=\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}=\log_9\hspace{2}\frac{1}{3}$
解説

$3$ $^2$ $=$ $9$ $\rightarrow$ $\log$ $_3$ $9$ $=$ $2$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

(6)
$8^{\frac{1}{3}}=2$

$3=\log_28$ $\log_2\hspace{2}\frac{1}{8}=-3$ $\log_82=\frac{1}{3}$ $2=\log_8\hspace{2}\frac{1}{3}$

$\log_39=2$ $-2=\log_3\hspace{2}\frac{1}{9}$ $\log_93=\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}=\log_9\hspace{2}\frac{1}{3}$
解説

$8$ $^{\frac{1}{3}}$ $=$ $2$ $\rightarrow$ $\log$ $_8$ $2$ $=$ $\frac{1}{3}$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

問題2　a,b,c>0, a,b,c≠1のとき，次の各式を指数の形に直してください

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

(1)
$b=\log_ac$

$a=c^{-b}$ $a^b=c$ $b=a^{-c}$

$b^a=\frac{1}{c}$ $(\frac{1}{b})^c=a$ $c^{\frac{1}{a}}=b$
解説

$b$ $=$ $\log$ $_a$ $c$ $\rightarrow$ $a$ $^b$ $=$ $c$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

(2)
$\log_ab=-c$

$a=c^{-b}$ $a^b=c$ $b=a^{-c}$

$b^a=\frac{1}{c}$ $(\frac{1}{b})^c=a$ $c^{\frac{1}{a}}=b$
解説

$\log$ $_a$ $b$ $=$ $-c$ $\rightarrow$ $a$ $^{-c}$ $=$ $b$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

(3)
$a=\log_b\hspace{2}\frac{1}{c}$

$a=c^{-b}$ $a^b=c$ $b=a^{-c}$

$b^a=\frac{1}{c}$ $(\frac{1}{b})^c=a$ $c^{\frac{1}{a}}=b$
解説

$a$ $=$ $\log$ $_b$ $\frac{1}{c}$ $\rightarrow$ $b$ $^a$ $=$ $\frac{1}{c}$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

(4)
$\frac{1}{a}=\log_cb$

$a=c^{-b}$ $a^b=c$ $b=a^{-c}$

$b^a=\frac{1}{c}$ $(\frac{1}{b})^c=a$ $c^{\frac{1}{a}}=b$
解説

$\frac{1}{a}$ $=$ $\log$ $_c$ $b$ $\rightarrow$ $c$ $^{\frac{1}{a}}$ $=$ $b$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

(5)
$\log_ca=-b$

$a=c^{-b}$ $a^b=c$ $b=a^{-c}$

$b^a=\frac{1}{c}$ $(\frac{1}{b})^c=a$ $c^{\frac{1}{a}}=b$
解説

$\log$ $_c$ $a$ $=$ $-b$ $\rightarrow$ $c$ $^{-b}$ $=$ $a$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

(6)
$\log_{\frac{1}{b}}a=c$

$a=c^{-b}$ $a^b=c$ $b=a^{-c}$

$b^a=\frac{1}{c}$ $(\frac{1}{b})^c=a$ $c^{\frac{1}{a}}=b$
解説

$\log$ $_{\frac{1}{b}}$ $a$ $=$ $c$ $\rightarrow$ $\Bigl(\frac{1}{b} \Bigr)$ $^{c}$ $=$ $a$ ･･･（答）
左辺と右辺は逆になっていてもよい →解説を隠す←

［要点の復習］
対数の定義

　上記の要約を使って，次のように指数の部分や真数の部分が未知数になっている方程式を解くことができます．

底指数=値， log底真数=値

【例題１】次の方程式を満たす $x$ の値を求めてください．
$\log_2 x=3$

（解答）
$\log_2 x=3$
を対数の定義にしたがって変形すると
$x=2^3=8$ …(答)

※すぐ後で習うように，この形の方程式は「対数方程式」と呼ばれ，通常は，真数条件（真数となる式は正でなければならない）を満たすことを確かめる必要があります．
　しかし， $\log_a x=b$ という単純な形の方程式では， $\log_a x=b\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=a^b$ なので， $a\gt 0$ である限り， $x\gt 0$ となり，真数条件はつねに満たされます．だから，この問題については真数条件の検討を省略してもかまいません．

【例題２】次の方程式を満たす $x$ の値を求めてください．
$2^x=3$

（解答）
$2^x=3$
を対数の定義にしたがって変形すると
$x=\log_2 3$ …(答)

※答えが合っていることは分からんでもないが，半分納得しない人がいるかもしれない．
(1)　 $2^{\log_2 3}=3$
ということか？　⇒　その通り．ただし，これが分かるには，もっと先の「指数が対数のもの」という項目まで順に読んでもらわなければならない．
(2)　 $\log_2 3$ とは，どれくらいの数字なのか？（小数で） ⇒ $\log_2 3=1.5849625\cdots$ で，無限小数になります．
中学校の時に， $\sqrt{2}=1.41421356\cdots$ を $1.41$ と答えてはだめで，その無限小数は $\sqrt{2}$ という新しい記号で答えなければならなかったように，指数の形を対数の形に直す問題では， $\log_2 3$ の形で答える問題もあるのです．

【問題3】　次の方程式を満たす $x$ の値を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）