指数関数，対数関数

【高校数学の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　 　 《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　 が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方 　 • 累乗根 　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較 　 • ｎ乗比較 　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数 ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，指数法則の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 指数法則 == ■正の指数の意味 　高校１年までに登場する指数 （数や式の右肩に書かれる小さな記号）には、「正の整数」だけが使われており、ものを掛ける回数を表しています。 例 23=2×2×2 35=3×3×3×3×3 　a2 , a3は「aの２乗」，「aの３乗」などといいます。 　aと書かれたものは、a1の省略とみなします。 （すぐ後に登場する０乗の話と混同しないように。指数が書かれていないのは「なにもない＝０乗」ではなく、１乗の省略です）	≪問１≫　53に等しいものを次のうちから選んでください。 選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません．以後の問題も同様です． 8 15 53 125 解説を見る 53は5を３回掛けることを表します。 すなわち53=5×5×5=125 →解説を隠す←
■指数法則 　次の関係式を指数法則といいます。 a, b≠0のとき (1) am×an=am+n 例 a2×a3=a2+3=a5 (2) am÷an=am−n 例 a5÷a2=a5−2=a3 (3) (am)n=amn 例 (a3)2=a3×2=a6 (4) (ab)n=anbn 例 (ab)3=a3b3 (5) ( )n = 例 ( )3 =	※指数法則は高校１年までは、m , nが正の整数の場合だけを考えます。高校２年以上ではm , nは（正負０を含む）整数の場合にも適用されます。」　さらに、正負の分数、正負の無理数の場合にもそのまま使います。 　この頁ではm , nが正負の整数の場合までを扱います。

≪問２≫　次の各式を正しく変形したものを選択肢から選んでください。（数値が大きくなるものは指数の形のまま表示しています。） (1)63×64= 67 612 634 681 解説を見る 指数の定義に遡って考えれば 63×64=(6×6×6)×(6×6×6×6)=67 指数法則を使えば 63×64=63+4=67となります 特に63×4と間違わないことが重要です →解説を隠す← (2)56÷52= 53 54 58 512 解説を見る 指数の定義に遡って考えれば 56÷52== 54 指数法則を使えば 56÷52 =56−2=54 特に56÷2と間違わないことが重要です →解説を隠す←

(3)(74)2= 76 78 716 742 解説を見る 　指数の定義に遡って考えれば (74)2=(74)×(74)=(7×7×7×7)×(7×7×7×7)=78 指数法則を使えば (74)2=74×2=78 特に74+2と間違わないことが重要です →解説を隠す← (4)(2×3)5= 2×35 25×3 25×35 2×15 解説を見る 指数の定義に遡って考えれば (2×3)5=(2×3)×(2×3)×(2×3)×(2×3)×(2×3)=2535 指数法則を使えば (2×3)5=25×35 特に2×35と間違わないことが重要です　 →解説を隠す← (5)( )5 = 解説を見る 指数の定義に遡って考えれば ()5 = ()×( )×( )×( )×( ) = 指数法則を使えば ( )5 = 　 →解説を隠す←

■負の指数の定義 　高校２年で登場する負の指数 （初めは「負の整数」だけを扱い、すぐに負の分数や負の無理数にも適用されます）は、上に述べた「掛ける回数」という解釈では理解できません。（ある数をマイナス３回掛けるとは？などと空想の世界に入り込んでも、何も得られません。） 　負の指数は、「指数法則がいつでも成り立つよう」に指数として使える「数字の範囲を拡張する」ために導入されます。 　つまり、純粋に「負の指数とは何か？」と考えることから負の指数の定義が出てくるのではなく、指数法則という「演算」の都合に合わせて「負の指数」が定義されています。 a2÷a5のように割る方の指数が大きい数字のときでも 指数法則am÷an=am−nが成り立つようにするには ［指数法則の式から考えれば］ a2÷a5=a2−5=a−3 ［意味から考えれば］ a2÷a5= = = そこで a−3=と決めれば、 指数が−3のときにも成り立つようになります。 一般に、負の指数a−nを次のように定義します。 　nは正の整数、（−nは負の整数）、a≠0とするとき a−n = 例 3−4 = ※aが分母に来るから、a≠0という条件が必要 また、右の解説から分かるように０の指数（０乗）を次のように定義します。 a0 = 1 例 30 = 1 a0 = 0「ではない」ことに注意！

a3÷a3のように割る式と割られる式が同じとき 指数法則a3÷a3 は ［指数法則の式から考えれば］ a3÷a3=a3−3=a0 ［意味から考えれば］ a3÷a3= = 1 そこで、指数法則am÷an=am−nがm=nのときにも成立するようにするためには a0=1 と決めます。 ≪問３≫　次の各式を正しく変形したものを選択肢から選んでください。 (1)7 −3= 4 解説を見る 左で解説したように7−3はになります。 特にと間違う答案が多いので注意しましょう。指数が分数の式は、全く違う物を表します →解説を隠す← (2)70= 0 1 7 解説を見る 左で解説したように70は1になります。 特に70=0と間違う答案が多いので注意しましょう。 →解説を隠す←

≪問４≫　次の各式を正しく変形したものを選択肢から選んでください。（数値が大きくなるものは指数の形のまま表示しています。） (1)24÷2−5×26= 23 25 27 215 解説を見る 掛け算は「指数の足し算」に、割り算は「指数の引き算」になります。 24÷2−5×26=24−(−5)+6=24+5+6=215 24×2−5×26という問題ではないので24−5+6にはなりません｡ また，次のように後の掛け算を先にやるのも間違いです： 24÷(2−5×26) →解説を隠す← (2)= 82 8−2 8−10 解説を見る 分母にあるものは割り算に対応しています。 = 8−6÷8−4=8−6−(−4)=8−6+4=8−2 特に，=などという公式はないので注意してください． →解説を隠す← このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください（↓↓）

(3)= 97 9−1 9−4 9−7 解説を見る 90は1です。 = = = 9−4 次のように指数法則を使って、０との掛け算が０になることを利用するとスマートな答案になります。 = = 9−4 →解説を隠す← (4)(3−2×4)−5= 310×4−5 3−2×4−5 12−10 12−5 解説を見る (3−2×4)−5=(3−2)−5×4−5=310×4−5 →解説を隠す← (5)= 52 56 5−6 5−18 解説を見る = = 5−6−(−12) =5−6+12=56 →解説を隠す←