指数関数，対数関数

指数が対数のもの

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　　

《高校数学Ⅱ / 指数関数･対数関数の目次》　　　が現在地 • 負の指数(1)　 • 負の指数(2)　 • 指数法則　 • 指数計算（積・商）　 • 有効数字の表し方　 • 累乗根　 • 有理数（分数）の指数(1) 　 • 有理数（分数）の指数(2)　 • 指数と大小比較　 • ｎ乗比較　 • 指数関数のグラフ　 • 指数方程式(1)　 • 指数方程式(2)　 • 指数不等式　 • 指数が対数のもの　 • 対数の定義　 • 対数計算(1)　 • 対数計算(2)　 • 底の変換　 • 対数方程式　 • 常用対数　 • 指数・対数の大小比較（入試問題） • センター試験,指数関数･対数関数

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，指数が対数のものの「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです．
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指数が対数のもの

$a^{\log_ab}$ の形
■解説

［要点］
$a^{\log_ab}=b$

（解説1）　右図(1)の対数の定義を用いた解説

　 $\log_ab=\log_ab$ は成り立つ
右辺を分けて読む
　logab=logab
(1)式を右辺から左辺へ変形する

　 alogab=b　（証明終）

（解説2）　右図(2)(3)の計算法則による解説

$a^{\log_ab}$ について，底aの対数をとる
　 $\log_a(a^{\fbox{\log_ab}})=\fbox{\log_ab}\cdot\log_aa$
ここで， $\log_aa=1$ だから
　 $\log_a(a^{\log_ab})=\log_ab$
両辺の真数は等しいから
　 $a^{\log_ab}=b$ 　（証明終）

◆基本事項の確認◆

○　対数の定義･･･(1)
○　対数をとる(→)，はずす(←) a=b←→logca=logcb･･･(2)

○　対数の計算法則
･･･(3)

※皆さんは当然わかっていると思いますが，大学入試の答案に「ノミの三段跳び」により，などと書いてはいけません．（←この言葉は，分かりやすくするために，受験生向けに使っている仲間内ひみつの言葉です．［そのまま答案に書くと危ない～♪♬♥♣♠］）

※　注意
指数が対数のときに，簡単になるのは底が同じときです。

底が異なれば，このように簡単になるとは限りません。(下の例題１参照)

※左の要点の参考
f(x)=axの逆関数はf −1(x)=logax

一般に，関数とその逆関数の合成関数は恒等関数 I(x)=xとなります。

alogax=x
loga(ax)=x

例題1
$a^{\log_cb}=b^{\log_ca}$ が成り立つことを示しなさい。

(答案例)
両辺について底cの対数をとると

左辺は $\log_c(a^{\log_cb})$ 　(←ノミの三段跳び)
$=\log_cb\cdot\log_ca$
右辺は $\log_c(b^{\log_ca})$ 　(←ノミの三段跳び)
$=\log_ca\cdot\log_cb$

これらは等しいから，元の式も等しい
　　 $a^{\log_cb}=b^{\log_ca}$ 　（証明終）

例題2
次の各式を簡単にしなさい。
(1)　 $10^{\log_{10}3}$
(2)　 $5^{-\log_{5}3}$

(答案例)
(1)　 $10^{\log_{10}3}=3$ ・・・答
(2)　 $5^{-\log_{5}3}=5^{\log_5\hspace{2}\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$ ・・・答

問題1　次の各式に等しいものをクリックしてください

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

(1)
$4^{\log_{2}x}$

3x 8x x2 x3

$\sqrt{x}$ $\sqrt{2x}$ $\frac{1}{x^3}$ $3^{\log_2x}$
解説

指数の底と対数の底を一致させると，式が簡単になる
指数の底を2に直すと
$(2^2)^{\log_{2}x}=2^{2\log_{2}x}=2^{\log_{2}(x^2)}=x^2$ ･･･（答）
→解説を隠す←

(2)
$2^{\log_{2}3x}$

3x 8x x2 x3

$\sqrt{x}$ $\sqrt{2x}$ $\frac{1}{x^3}$ $3^{\log_2x}$
解説

指数の底と対数の底が一致しているから，式が簡単になる
$2^{\log_{2}3x}=3x$ ･･･（答）
→解説を隠す←

(3)
$3^{\log_{9}x}$

3x 8x x2 x3

$\sqrt{x}$ $\sqrt{2x}$ $\frac{1}{x^3}$ $3^{\log_2x}$
解説

指数の底と対数の底を一致させると，式が簡単になる
底の変換公式を用いて，対数の底を3に直すと
$3^{\frac{\log_3x}{\log_{3}9}}=3^{\frac{\log_3x}{2}}$
$=3^{\frac{1}{2}\log_3x}$ $=3^{\log_3x^{\underset{2}{\underline{1}}}}$
$=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

(4)
$x^{\log_{2}3}$

3x 8x x2 x3

$\sqrt{x}$ $\sqrt{2x}$ $\frac{1}{x^3}$ $3^{\log_2x}$
解説

上記の例題1参照（※やや難しい）
底を2とする対数をとると
$\log_2(x^{\log_{2}3})=\log_{2}3\cdot\log_2x$
他方で， $3^{\log_2x}$ に底を2とする対数をとると
$\log_2(3^{\log_2x})=\log_2x\cdot\log_23$
これらは等しいから，元のものも等しい
$x^{\log_{2}3}=3^{\log_2x}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

(5)
$3^{\frac{1}{2}\log_{3}2x}$

3x 8x x2 x3

$\sqrt{x}$ $\sqrt{2x}$ $\frac{1}{x^3}$ $3^{\log_2x}$
解説

$3^{\frac{1}{2}\log_{3}2x}=3^{\log_{3}(2x)^{\underset{2}{\underline{1}}}}}$
$=3^{\log_3\sqrt{2x}}=\sqrt{2x}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

(6)
$2^{3+\log_{2}x}$

3x 8x x2 x3

$\sqrt{x}$ $\sqrt{2x}$ $\frac{1}{x^3}$ $3^{\log_2x}$
解説

$2^{3+\log_{2}x}=2^3\times 2^{\log_{2}x}$
$=8\times 2^{\log_{2}x}=8x$ ･･･（答）
→解説を隠す←

(7)
$2^{3\log_{2}x}$

3x 8x x2 x3

$\sqrt{x}$ $\sqrt{2x}$ $\frac{1}{x^3}$ $3^{\log_2x}$
解説

$2^{3\log_{2}x}=2^{\log_{2}(x^3)}=x^3$ ･･･（答）
→解説を隠す←

(8)
$2^{-3\log_{2}x}$

3x 8x x2 x3

$\sqrt{x}$ $\sqrt{2x}$ $\frac{1}{x^3}$ $3^{\log_2x}$
解説

$2^{-3\log_{2}x}=2^{\log_{2}\large{x}^^{\tiny{-3}}}=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

問題2　各々正しいものをクリック

(1)
$a,b,c\gt 1$ のとき， $a^{\log_b c}$ と等しいものを次の中から選んでください．

$b^{\log_a c}$ $b^{\log_c a}$ $c^{\log_a b}$ $c^{\log_b a}$
解説やり直す

$\log_x M^n=n\log_x M$
に注意して変形することを考えます

$a^{\log_b c}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b a^{\log_b c}=\log_b c\cdot \log_b a$

選択肢の方は
$b^{\log_a c}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b b^{\log_a c}=\log_a c\cdot \log_b b=\log_a c$
$b^{\log_c a}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b b^{\log_c a}=\log_c a\cdot \log_b b=\log_c a$
$c^{\log_a b}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b c^{\log_a b}=\log_a b\cdot \log_b c(=\log_a c)$
$c^{\log_b a}$ について，底を $b$ とする対数をとると
$\log_b c^{\log_b a}=\log_b a\cdot \log_b c$
等しいのは $c^{\log_b a}$ の対数のみ