指数関数，対数関数

対数不等式

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
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《数学Ⅱ・Ｂ》
• 数学Ⅱ 指数関数.対数関数　　

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== 対数不等式 ==
対数不等式の解き方

底aが a>1のとき logax>logat → x>t
底aが 0<a<1のとき logax>logat → x<t

(解説)
右図1に示されるように,
底aがa>1のとき,グラフは単調増加関数（右上がりのグラフ）だから,
logax>logatならば,x>tが成り立ちます.

底aが0<a<1のとき,グラフは単調減少関数（右下がりのグラフ）だから,
logax>logatならば,x<tが成り立ちます.

注意
0<a<1のとき,対数を外したとき不等号の向きが逆になります.

図1

対数方程式の場合と同様に, 真数は正の数でなければなりません.
この真数条件は元の不等式で確かめる必要があり,元の不等式を変形したものでは一般に条件が変わってしまいます.

例1次の対数不等式を解いてください.

log10(2x−1)<log10x

真数条件から
2x−1>0, x>0 → x> …(1)

底は1よりも大きいから,
2x−1<x
x<1 …(2)
(1)(2)→

<x<1 …(答)

例2次の対数不等式を解いてください.

log10x+log10(x−1)<log106

真数条件から
x>0 かつ x−1>0 → x>1 …(1)
両辺を係数1の１つのlogにまとめる.
log10x(x−1)<log106
底は1よりも大きいから,
x(x−1)<6
2次不等式を因数分解で解くと
x2−x−6<0
(x−3)(x+2)<0
−2<x<3 …(2)
(1)(2)→
1<x<3 …(答)

例3次の対数不等式を解いてください.

2 log0.5(x−4)≦log0.52x

真数条件から
x−4>0 かつ x>0 → x>4 …(1)
両辺を係数1の１つのlogにまとめる.
log0.5(x−4)2≦log0.52x
底は1よりも小さいから,
(x−4)2≧2x
2次不等式を因数分解で解くと.
x2−8x+16≧2x
x2−10x+16≧0
(x−8)(x−2)≧0
x≦2 or 8≦x …(2)
(1)(2)→
x≧8 …(答)

例4次の対数不等式を解いてください.

1.log10(3−x)>log10(x−1)